Princípio da indução finita
TCC por Bruno Coalho Araujo em 01 de Novembro de 2022
Publicado por Felipe Nunes Coelho
Informações
Autor: Bruno Coalho Araujo
Instituição: Único Educacional
Contato: [email protected]
Resumo
Este trabalho foi realizado com o intuito de ajudar jovens, principalmente alunos do ensino médio à adquirirem conhecimento sobre o Princípio da Indução Finita, tendo em vista que vários estudantes têm dificuldade em matemática. Ao final, será possível perceber que a Indução pode facilitar o entendimento da matemática.
Palavras-chave
Matemática. Ensino médio. Indução. Estudantes.
Abstract
This work was carried out with the objective of helping young people, especially high school students, to acquire knowledge about the Principle of Finite Induction, given that many students have difficulties in mathematics. In the end, it will be possible to see that Induction can facilitate the understanding of mathematics.
Keywords
Math. High school. Induction. Students.
Introdução
O objetivo geral deste trabalho é ajudar estudantes a ter uma melhor noção sobre infinito na matemática. Além disso, é esperado também, entender que com o Princípio da Indução Finita (PIF), pode-se facilitar o processo de aprendizagem da matemática, e cada vez mais, se familiarizar com a matéria e com os números. O método de indução é desenvolvido desde meados do século III antes de cristo, quando foi originado nos trabalhos de gregos antigos, sendo utilizado também pelo grandioso Euclides, em “Os Elementos”, porém nessa época, ainda sem ser nomeado. Com o PIF, torna-se possível validação de formulas, além de ter ajudado o desenvolvimento de diversas ciências: com seu uso foi possível compreender fórmulas que não eram compreendidas antes.
1. O Princípio da Indução Finita
O método da Indução finita é um procedimento matemático utilizado para demonstrar e verificar se certas propriedades são verdadeiras para uma determinada sequência de objetos, o que torna o conceito da indução muito importante é que através do mesmo podemos obter a noção de finito e infinito em Matemática.
Apesar de já aparecer em trabalhos de Gregos Antigos, onde provavelmente foi originado, onde também tem o seu pico aproximadamente em 300 A.C. quando utilizado em “Os Elementos de Euclides”, o conceito “Indução matemática” foi criado pelo matemático inglês Augustus de Morgan (1806-1871) ao publicar em 1838, na Penny Cyclopedia, o seu artigo “Induction (Mathematics)”.
Vamos explicar o Princípio da Indução Finita como se fosse um efeito dominó: no PIF, nós verificamos a validade de uma certa fórmula para o menor número disponível. Depois, assumindo que seja verdade a fórmula para o número k, nós demonstramos que ela vale para o número k+1. Veja o processo. Se vale para 1, vale para 1 + 1 = 2. Se vale para 2, vale para 2 + 1 = 3. Como o valor de k o processo indutivo é arbitrário, temos literalmente um efeito dominó. Isso garante que a fórmula vale para todos os números.
A ideia de indução foi usada para demonstrar que certas fórmulas são verdade. Podemos, entretanto, fugir do mundo das fórmulas. A indução é usada para provar desigualdades e tem usos em inúmeras áreas da matemática.
2. A ORIGEM DE ALGUMAS FÓRMULAS
Provaremos que o número n2 + n é sempre par usando o princípio da indução finita. Inicialmente, escreva P(n)= n2 + n como uma função. Observe que P(1)= 12 + 1= 2, de fato um número par. Suponha que P(k)= k2 + k é válida. Temos que
P(k+1)= k+12 + k
=k2 + 3k + 2
=k2 + k + 2k + 2
Sabemos que a primeira parte da equação (k2 + k) realmente é par pois consideramos tal fórmula válida.
Sabemos também que todo número multiplicado por 2 sempre é par, e se somarmos 2 a este número ele permanecerá par, então provamos que o número
n2 +n sempre será par.
Perceba que é possível provar que n2+n é par sem usar indução:
n2+n=n(n+1)
Por ser o produto entre dois números consecutivos, n2+n apresenta um dos fatores par e por isso é par.
Provaremos que o termo geral da Progressão Aritmética (PA) realmente é valido usando o PIF. Uma PA é uma sequência numérica onde um termo é sempre o termo anterior somado a um valor constante, chamado de razão. Como exemplo, temos 1, 8, 15, 22,. Queremos um método eficiente para calcular o milésimo termo. A fórmula proposta é an=a1+n-1⋅r. Seguiremos a mesma rotina do problema anterior: escreva a fórmula como se fosse uma função.
Pn: an=a1+n-1⋅r
Supondo que n=1, temos a seguinte equação, que é verdadeira.
P1: a2=a1+2-1⋅r
Supondo que vale an-1=a1+n-1-1⋅r mostraremos que an=a1+n-1
an-1=a1+n-2⋅r+1⋅r
an-1=a1+rn-2+1=a1+n-1⋅r,
como queríamos provar.
Uma outra aplicação é deduzir a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Tal expressão é
Sn= n-2180o.
Ela pode ser provada com indução sobre n. Veja que este caso é especial: o menor valor de n que cabe no contexto é 3. Para o primeiro passo, considere n=3. Vamos aplicá-lo na fórmula:
3-2⋅180=180
Sabemos que um polígono de 3 lados, é um triângulo, e também sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é 180°. Logo, S3 é válida.
Vamos assumir que a fórmula funciona para n-1. Considerando um polígono de n-1 lados, a soma dos ângulos internos dele é:
n-1-2⋅180=n-3⋅180.
Com essas informações seguiremos para o caso com n lados. Para fixar ideias, vamos desenhar um hexágono, ou seja, um polígono com 6 lados. Traçando suas diagonais, vamos encontramos um polígono convexo de n-1 lados, 5 neste caso, para aplicar o PIF.
Podemos notar que as diagonais traçadas formam vários triângulos, porém, para provarmos nossa fórmula, vamos ‘’retirar’’ o triângulo inferior, no qual está sendo formado pela diagonal BF. Sendo assim, temos um polígono convexo de n-1 lados, ou seja: 6-1=5. Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados, podemos utilizar a seguinte ideia:
Soma dos ângulos internos=soma dos ângulos do triângulo inferior+soma dos ângulos no polígono de n-1 lados
Sendo assim, temos que:
S=n-3⋅180+180=180n-3+1=180n-2.
A última fórmula que provaremos é uma expressão para a soma de múltiplos consecutivos de 5:
5+10+15+…+5n=5nn+12 .
Inicialmente, observe que P1= 5=5, de fato é válida. Suponha que Pk= 5+10+15+…+5k=5kk+12 é válida. Temos que Pk+1=5k+1k+22 é a fórmula que precisamos deduzir. Por outro lado, veja que:
5+10+15+…+5k+5k+1=
5kk+12+10k+12=k+15k+102=5k+1k+22,
como queríamos demonstrar.
Conclusão
Abramo Hefez, no livro “Indução Matemática”, sugere que com o entendimento do método de indução, agora pode-se entender melhor e ter mais familiaridade com os conjuntos de números, como os números naturais, racionais, irracionais, entre outros. Também pode-se criar o primeiro contato com a noção de infinito na matemática. Esperamos ter conseguido ajudar os jovens e que agora possam ter cada vez mais facilidade no seu desenvolvimento acadêmico matemático.
Bibliografia
Abramo Hefez, Indução Matemática, Rio de Janeiro, 2007.